A mediados del mes de septiembre se defienden algunos de los trabajos fin de máster de nuestro alumnado. Formo parte del tribunal de uno de estos trabajos que trata sobre cohomología y sus aplicaciones. El autor del trabajo incluye una aplicación “gastronómica” en la que utiliza la teoría clásica que ha expuesto en los capítulos previos para refutar una conjetura del matemático y físico Vicente Bosca sobre los llamados “∞-Oreos”.
Me picaba la curiosidad y, a través del artículo de Bosca, he encontrado bastantes curiosidades sobre las diferentes variaciones de estas famosas galletas, las Oreo, que vamos a llamar sencillamente O.
Las galletas O, las más vendidas del mundo, se pueden adquirir en más de cien países. Fueron elaboradas por primera vez el 6 de marzo de 1912 en la fábrica de la empresa Nabisco de Nueva York. Se lanzaron en ese momento dos sabores, las originales y una con sabor a limón, que dejó de fabricarse en 1920.
Cada pieza original contiene un 29 % de crema de vainilla y un 71 % de galleta (en dos piezas) de chocolate. Por motivos publicitarios, de vez en cuando, se lanza una nueva propuesta con una crema diferente, aunque suelen desaparecer del mercado en poco tiempo.
En cierto momento se lanzaron las galletas O, “Double Stuf” con, supuestamente, el doble de relleno y después las “Mega Stuf” con el triple de crema que la original. Y, supongo que en un intento de motivar al alumnado, en 2013, un profesor de matemáticas de escuela secundaria puso como tarea a su alumnado comprobar si lo que se prometía sobre la cantidad de crema de relleno era cierta. El profesor compró paquetes de galletas de los tres tipos, y pesando las unas y las otras (incluso pesando las obleas por separado, eliminando la crema, para comprobar sus mediciones), comprobaron que las doble sólo tenían 1,86 veces más crema que las O originales y las triples 2,68 veces… ¡indignante! ¡Hasta la CNN se hizo eco!
Los portavoces de la empresa de galletas, sin querer menospreciar las habilidades matemáticas del alumnado, aseguraron que las cantidades eran las prometidas en la publicidad. Es cierto que algunas otras personas hicieron sus propios experimentos y dieron la razón a la empresa.
Parece que no solo se les ocurren estas cosas a las personas que se dedican a las matemáticas. James Lamers, fotógrafo y mochilero, también hizo sus propios cálculos en 2020, incluyendo en su caso las “Thin” y las “Most Stuf”, con la mitad y el cuádruple de crema que las galletas originales.
Lamers, con un método muy científico, midió el grosor de lada galleta y las pesó (completas y en partes, separando las obleas de la crema… labor que no siempre es fácil si se busca precisión). Además, como deportista también estudió las cualidades nutritivas de cada tipo de galleta.
Y descubrió que las “Thins” (de 7 mm de grosor, con dos obleas de 2 mm) tienen mayor proporción de crema que las originales (12 mm de grosor, con obleas de 4 mm). Descubrió que las “Double Stuf” tenía el doble de crema, en contra de otros experimentos realizados, como el nombrado arriba. Aunque se disculpaba aludiendo a sus métodos de medición poco precisos que podían “engañarle”. Con las “Mega Stuf” se quedó sorprendido porque tienen el mismo grosor que las “Double” (14 mm)… pero había más crema porque ésta cubría una mayor superficie, pero tan solo contenía 2,5 veces más cantidad que las originales. Y las “Most Stuf” contenían 3,5 veces la cantidad de crema de las originales en vez de las 4 anunciadas… Lamers afirmaba que ya eran suficientemente empalagosas de esta manera y confesaba su preferencia por las originales.
Por si las matemáticas no fueran suficientes, hay personas (serias) en revistas (científicas serias) que también estudian la crema de las galletas O. El resumen de este artículo sobre “oreología” así lo explica:
Usando un reómetro de laboratorio, medimos la mecánica de fallas de la “crema” del oreo epónimo y sondeamos la influencia de la tasa de rotación, la cantidad de crema y el sabor en la curva de tensión-deformación y la distribución de crema post mortem. Los resultados típicamente muestran fallos adhesivos, en los que casi toda (95 %) crema permanece en una oblea después del fallo, y lo atribuimos al proceso de producción, ya que confirmamos que el lado pesado de la crema está orientado uniformemente dentro de la mayoría de las cajas de Oreos. Sin embargo, las galletas en cajas almacenadas en condiciones potencialmente adversas (mayor temperatura y humedad) muestran un fallo cohesivo que resulta en la división de la crema entre las mitades de la oblea después del fallo. La mecánica de fracaso clasifica aún más la textura de la crema como “pastosilla”. Finalmente, introducimos y validamos el diseño de un oreómetro impreso tridimensionalmente de código abierto impulsado por bandas elásticas y monedas para fomentar estudios en el hogar de mayor precisión para contribuir con nuevos descubrimientos a este incipiente campo de estudio.
Había pensado que podía ser una broma del 1 de abril… pero parece que no.
Vuelvo al origen de mi inmersión en el fascinante mundo de las galletas. Esto ya es más complicado. Bosca habla en este artículo aún no publicado sobre productos alimenticios que contienen versiones de sí mismos. Y como no, volvemos a las galletas O, para estudiar las “Loaded”, galletas “Mega Stuf” cuyo relleno contiene migas de la oblea de chocolate. El propio autor explica que se pueden ver como el resultado de mezclar una “Mega Stuf Oreo” en un “Mega Stuf”. Y se trata de iterar este proceso para producir una secuencia de galletas cada vez más “autorreferenciales”. Y después, Bosca toma el límite para obtener la ∞-Oreo. Y claro, se trata de estudiar cómo queda el relleno. El autor demuestra que el relleno de la ∞-Oreo contiene aproximadamente 95,8 % de crema y 4,2 % de oblea.
Todo este estudio (en el que aparecen más alimentos) se hace usando definiciones y teoremas matemáticos. No puedo explicar en este medio la conjetura a la que me he referido al principio, pero tiene que ver con conceptos de topología algebraica. ¡Lo que dan de sí estas galletas!
Las galletas O son conocidas por sus extraños sabores y tamaños promocionales que aparecen en los titulares y luego desaparecen, porque son eso, promocionales. Hace unos días vi una nueva vuelta de tuerca, la pollo Oreo Original Recipe, una hamburguesa de pollo cubierta con puré de patatas y espolvoreada con migas de galletas O… que se sirve en un pan de hamburguesa de chocolate con sabor a O negro. ¡Están disponibles por tiempo limitado… en China!
Referencias
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia
El artículo Algunas galletas tienen mucha ciencia… se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.
Es importante transmitir a las generaciones más jóvenes que no existe una única manera de construir una carrera profesional exitosa.
Eugenia Malinnikova es profesora visitante distinguida en el ICMAT desde 2024. Professor en la Universidad de Stanford (EE. UU.), su investigación, siempre en torno al estudio de funciones y ecuaciones, abarca el análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales elípticas y la teoría del potencial. En el mes de junio, visitó el ICMAT e impartió un coloquio especial sobre el operador de Laplace en grafos, un objeto de gran interés dentro de las matemáticas que permite, por ejemplo, representar y estudiar las relaciones en una red social.
Laura M. Iraola (LMI) ¿Cómo comenzó su interés por la investigación en matemáticas?
Eugenia Malinnikova (EM) Empezó cuando era estudiante en San Petersburgo (Rusia). Tuve un profesor excelente que impartía análisis y que, además de las clases, organizaba reuniones para estudiantes de primer curso donde discutíamos problemas interesantes. Gracias a él, me introduje en la teoría del potencial, las formas diferenciales y algunas generalizaciones de las funciones analíticas a sistemas elípticos de primer orden.
Con el tiempo fui ampliando mis intereses hacia el análisis armónico, pero para mí, todos estos temas están profundamente conectados. Aunque desde fuera puedan parecer áreas diferentes, en realidad, forman parte de una misma investigación sobre funciones, ecuaciones y sus propiedades.
(LMI) ¿Qué es lo que más le atrae de estos campos?
(EM) Me gusta su carácter concreto. Yo no trabajo con objetos muy abstractos, sino con fenómenos que poseen una interpretación física clara. Las funciones armónicas, por ejemplo, describen numerosos procesos que encontramos en nuestro entorno. Aunque mi investigación es muy teórica y no busco aplicaciones inmediatas, me resulta estimulante saber que las matemáticas que estudio están relacionadas con conceptos tan familiares como los campos magnéticos o gravitatorios.
(LMI) ¿En qué está trabajando actualmente?
(EM) Tengo varios proyectos en marcha. Llevo varios años trabajando en un problema sobre el tamaño del conjunto crítico de las funciones armónicas. Junto con mis colaboradores, buscamos obtener estimaciones cuantitativas más precisas para entender mejor cuántos puntos presentan determinados comportamientos críticos. Es un problema en el que hemos invertido mucho esfuerzo y que creemos haber resuelto recientemente. Otro de mis proyectos actuales está relacionado con el operador de Laplace y sus propiedades en grafos, tema del que hablé en el coloquio especial que impartí durante mi visita al ICMAT.
(LMI) ¿Puede explicar algo más sobre las implicaciones de esta última investigación?
(EM) En este campo, estudiamos el espectro del operador de Laplace de un grafo, es decir, sus valores propios. Una forma sencilla de visualizarlo es pensar en una red social. Podemos representar las relaciones entre personas mediante un grafo y utilizar el espectro del laplaciano del mismo para identificar comunidades o grupos estrechamente conectados. Más allá de sus implicaciones en las redes sociales, este campo nos permite pensar en fenómenos discretos. Y muchos fenómenos del mundo real son discretos. Vivimos en un mundo formado por átomos y moléculas, pero no sabemos hasta qué punto la intuición desarrollada para fenómenos continuos sigue siendo válida cuando trabajamos con estructuras discretas, como los grafos.
(LMI) Echando la vista atrás, ¿hay algún resultado del que se sienta especialmente orgullosa?
(EM) No tengo uno en particular, pero recuerdo con mucho cariño un proyecto realizado junto a Aleksander Logunov, Lev Buhovsky y Mikhail Sodin sobre funciones armónicas en una retícula bidimensional. Imagina una cuadrícula en la que cada número de cada casilla es igual a la media de los números de las cuatro casillas vecinas. Eso es lo que llamamos una función armónica en ese contexto. Dimos respuesta a preguntas muy sencillas sobre este tipo de situaciones, que nadie había respondido antes. Fue uno de los trabajos con los que más me he divertido.
(LMI) En julio se celebró el Congreso Internacional de Matemáticos 2026, que ha albergado Filadelfia (EE. UU.). Usted fue ponente invitada en el ICM de Río de Janeiro, en 2018. [También ha sido parte del comité científico de la edición de 2026, que fue secreto hasta la celebración del congreso]. ¿Cómo es el ICM desde dentro?
(EM) Fue un gran honor recibir la invitación para Río. Antes de estar allí, imaginaba que sería un evento enorme en el que apenas habría tiempo para hacer matemáticas. Sin embargo, me sorprendió, fue lo contrario, asistí a conferencias excelentes y aprendí mucho más de lo que esperaba. Fue una experiencia muy enriquecedora.
(LMI) Uno de sus trabajos también fue reconocido en 2017 con el Clay Research Award, que recibió junto a Aleksander Logunov, por “desarrollar un nuevo método geométrico para analizar las propiedades de los problemas de valores propios elípticos”. ¿En qué consistía?
(EM) Una analogía útil es pensar en un tambor. Imagina que no conocemos su forma y lo hacemos sonar. Al hacerlo vibrar, aparecen líneas sobre la membrana que permanecen inmóviles. Una de las cuestiones consiste en estimar el tamaño de esas líneas en función de la frecuencia de vibración. Algo parecido ocurre con la cuerda de un violín: sabemos cómo el número de puntos que permanecen inmóviles depende de la nota que se está tocando. Cuanto más aguda es la nota, mayor es la frecuencia y más puntos aparecen donde la cuerda no se mueve. Nosotros estudiamos fenómenos análogos en contextos mucho más complicados y en dimensiones superiores.
Este trabajo dio lugar a una serie de herramientas geométricas y combinatorias que Aleksander Logunov utilizó, posteriormente, para abordar la conocida conjetura de Yau sobre el tamaño de los conjuntos de ceros de determinadas funciones, para la que obtuvo un resultado parcial.
(LMI) Desde 2024 es una de las profesoras visitantes distinguidas del programa Severo Ochoa del ICMAT. ¿Cómo está siendo esta colaboración?
(EM) En este grupo de trabajo, que está coordinado a nivel local por Eva Gallardo [catedrática de la Universidad Complutense de Madrid e investigadora del ICMAT], estamos abordando un proyecto complejo sobre subespacios invariantes de ciertos operadores. Partimos de un operador del que conocemos prácticamente todas sus propiedades e introducimos una pequeña perturbación. Lo sorprendente es que, de repente, todo cambia y dejamos de entender qué está ocurriendo.
Lo que es más interesante para mí es que este problema se aleja bastante de mi área habitual de investigación. Estoy aprendiendo mucho porque toca cuestiones que pertenecen más directamente a los intereses de mis colaboradores. A veces, son precisamente esos problemas difíciles e inciertos los que resultan más estimulantes.
(LMI) Cuando era estudiante de secundaria, ganó tres veces la medalla de oro en la Olimpiada Matemática Internacional. ¿Cree que esa experiencia influyó en su carrera?
(EM) Sí, sin duda, aunque no tanto por ganar como por el placer de resolver problemas. Participar en círculos matemáticos y en competiciones me ayudó a descubrir que aquello era realmente lo que me apasionaba. También me dio confianza al llegar a la universidad. Al mismo tiempo, comprendí que las matemáticas no son un deporte. Ahora, lo que más me interesa es aprender, disfrutar y explorar ideas.
(LMI) ¿Cree que este tipo de iniciativas son importantes para atraer a los y las jóvenes a las matemáticas?
(EM) Sí, aunque no son el único camino. Hay estudiantes que disfrutan mucho compitiendo y para ellos las olimpiadas pueden ser una fuente enorme de motivación y confianza. Pero también hay personas que prefieren trabajar con calma en los problemas y pueden llegar a ser excelentes matemáticos y matemáticas. Lo importante es que existan distintos tipos de oportunidades para descubrir las matemáticas.
(LMI) ¿Sigue colaborando con esta u otra iniciativa de fomento de vocaciones matemáticas?
(EM) Actualmente formo parte del consejo de Omega, una nueva organización de Estados Unidos que ha puesto en marcha una competición matemática. Celebramos la primera edición el pasado mes de mayo en Denver y participaron alrededor de 180 estudiantes de todo el país. Lo más bonito fue ver cómo esos chicos y chicas que se sienten solos en sus colegios porque apenas conocen a otras personas interesadas por las matemáticas recibían una enorme dosis de energía y motivación al estar en contacto con otros jóvenes.
Además, en ocasiones, imparto charlas en California, especialmente en el contexto de competiciones y campamentos de verano dirigidos a chicas. También visito clubes de matemáticas en colegios. No creo demasiado en la idea de ser un modelo a seguir, pero sí pienso que es importante que las jóvenes vean a mujeres muy diferentes disfrutando de las matemáticas. Es importante transmitir a las generaciones más jóvenes que no existe una única manera de construir una carrera profesional exitosa.
(LMI) ¿Cómo cree que es la situación para las mujeres dentro de la investigación en matemáticas?
(EM) Tengo dos hijas y durante mucho tiempo pensé que no querría que desarrollaran una carrera académica porque puede ser muy exigente. Ahora ya no lo veo así. Creo que todas las profesiones presentan retos cuando se intenta equilibrar la vida personal y profesional. Hoy es posible construir una carrera satisfactoria y, al mismo tiempo, tener una familia. Aunque aún existen diferencias entre hombres y mujeres, la situación es mucho mejor de lo que era hace décadas y sigue avanzando en la dirección correcta.
(LMI) Y, por último, ¿qué le gusta hacer cuando no está haciendo matemáticas?
(EM) La verdad es que las matemáticas son, en cierto modo, también mi afición. A veces, después de dedicar el día a tareas administrativas o docentes, llego a casa con ganas de hacer matemáticas por placer. Aparte de eso, disfruto mucho haciendo senderismo en California y asistiendo a conciertos de música clásica.
Este artículo es una colaboración del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) con Mujeres con ciencia.
El artículo Eugenia Malinnikova (Universidad de Stanford, EE. UU., profesora visitante distinguida en el ICMAT): “Es importante transmitir a las generaciones más jóvenes que no existe una única manera de construir una carrera profesional exitosa” ha aparecido en las Entrevistas del ICMAT el 3 de septiembre de 2026.
Laura M. Iraola es doble graduada en Periodismo y Comunicación Audiovisual por la Universidad Carlos III de Madrid y Máster en Periodismo Cultural y Nuevas Tendencias por la Universidad Rey Juan Carlos de Madrid. Es miembro de la oficina de comunicación y divulgación del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM).
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En 1956, la matemática Zofia Szmydt se convirtió en la primera mujer en ganar el prestigioso Premio Stefan Banach otorgado por la Sociedad Matemática Polaca. Su investigación se centró en las áreas de ecuaciones diferenciales, teoría del potencial y teoría de distribuciones.
Zofia Szmydt nació el 29 de julio de 1923 en Varsovia (Polonia). Su madre, Zofia Wanda Gąsiorowska, era doctora en filología, investigadora y docente en la Universidad de Varsovia. Su padre, Józef Konstanty Szmydt, tenía estudios superiores y trabajaba como agricultor. Zofia tenía una hermana mayor, Maria Danuta.
Tras su educación primaria, Zofia asistió a una escuela secundaria antes de completar su educación en la Escuela preparatoria para niñas Cecylia Plater-Zyberkówna en Varsovia. Allí estudiaba cuando Alemania invadió Polonia en septiembre de 1939 y comenzó la Segunda Guerra Mundial. Las fuerzas alemanas de ocupación actuaron rápidamente para limitar la educación de la población polaca: se cerraron todas las instituciones secundarias, universitarias y profesionales, permitiendo únicamente una educación primaria muy restringida. Estas escuelas buscaban una instrucción elemental para formar obreros manuales (aprender a contar hasta 500, escribir el propio nombre, ser laborioso y obedecer a los alemanes, entre otros elementos de esta escasa formación), eliminando materias como la geografía, la historia o la lectura.
Como respuesta a estas restricciones, muchos profesores polacos organizaron cursos y exámenes clandestinos: Zofia aprobó el examen de acceso a la universidad en matemáticas y física en 1940. Aunque las fuerzas alemanas de ocupación habían cerrado la Universidad de Varsovia para convertir sus edificios en un cuartel, se continuaron impartiendo clases en secreto utilizando casas particulares y edificios religiosos. Gracias a este sistema universitario clandestino, Zofia consiguió una cuidada educación científica. De hecho, su propia madre fue una de esas profesoras que arriesgaron su vida para continuar formando a la juventud de su país.
El 1 de agosto de 1944 comenzó el Levantamiento de Varsovia. Tras dos meses de batalla, la mayor parte de la ciudad quedó destruida y las fuerzas alemanas se ensañaron con la población civil. La familia de Zofia perdió sus propiedades y, tras la rendición de la resistencia polaca, los alemanes enviaron a la familia Szmydt (junto con muchas otras familias polacas supervivientes) a Cracovia.
El 17 de enero de 1945, las tropas alemanas abandonaron Cracovia y, dos días después, las fuerzas soviéticas entraron en la ciudad. La Universidad Jaguelónica reabrió sus puertas en marzo de 1945. Zofia se matriculó en la carrera de matemáticas; como ya contaba con una buena formación científica de la Universidad clandestina de Varsovia, pronto estuvo en condiciones de presentarse a los exámenes en Cracovia.
Obtuvo su diploma de Maestría en marzo de 1946, tras ser nombrada asistente sénior en la Facultad de Matemáticas y Ciencias Naturales de la Universidad Jaguelónica el 1 de enero de ese mismo año.
A finales de 1948, el gobierno polaco fundó el Instituto Estatal de Matemáticas (el actual Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias) con Wacław Sierpiński (1882-1969) como director. Como en otras ciudades polacas, Cracovia consiguió una delegación: en marzo de 1949, Zofia Szmydt fue nombrada asistente sénior en el Departamento de Ecuaciones Diferenciales del Instituto Estatal de Matemáticas (conservando su puesto en la universidad).
Durante esa época también comenzó su trabajo de tesis doctoral bajo la dirección de Tadeusz Ważewski (1896-1972). Obtuvo su título de doctora en diciembre de 1949 con un trabajo sobre ecuaciones en derivadas parciales.
Zofia Szmydt fue autora o coautora de casi 60 publicaciones científicas y dirigió tres tesis doctorales.
En 1972 publicó el libro de texto Transformacja Fouriera i równania różniczkowe liniowe (traducido al inglés en 1977 bajo el título de Fourier Transformation and Linear Differential Equations); fue el primero sobre el tema en publicarse en polaco. En este manual, Zofia Szmydt presentaba los fundamentos de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, con especial énfasis en las distribuciones en problemas límite de las ecuaciones clásicas (la ecuación del calor, la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson).
En 1956, Zofia Szmydt recibió el Premio Stefan Banach de la Sociedad Matemática Polaca por su investigación sobre métodos topológicos para ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias; fue la primera mujer en conseguirlo.
En 1958, obtuvo su habilitación, una cualificación postdoctoral adicional necesaria para impartir clases como profesora titular.
Los padres de Zofia habían regresado a Varsovia en febrero de 1945. La madre de Zofia fue nombrada catedrática en la Universidad de Varsovia; su padre falleció en 1960. En 1971, la salud de su madre se deterioró y Zofia solicitó al Instituto de Matemáticas que le permitiera trasladarse de la sede de Cracovia a la de Varsovia para poder cuidarla. Zofia Szmydt siguió viviendo en Varsovia tras el fallecimiento de su madre.
El 24 de septiembre de 1973, Szmydt recibió la Cruz de Comendadora de la Orden Polonia Restituta en reconocimiento a su labor docente y por la publicación del libro de texto Fourier Transformation and Linear Differential Equations.
Falleció el 6 de noviembre de 2010.
El artículo Zofia Szmydt, especialista en ecuaciones diferenciales se publicó en el blog Cuaderno de Cultura Científica el 29 de julio de 2026.
Marta Macho Stadler es doctora en matemáticas, profesora del Departamento de Matemáticas de la EHU y colaboradora en la Cátedra de Cultura Científica de la EHU.
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Aunque cualquier momento es bueno para viajar alrededor del mundo, ahora que estamos en verano es una época más propicia, al menos para las personas que tenemos las vacaciones en este período y no podemos disfrutar de tiempo libre en otros momentos del año. Por este motivo, me ha parecido una buena idea escribir precisamente ahora sobre un juego denominado Viaje alrededor del mundo, entre otros nombres como El docecaedro del viajero o Juego icosiano. Además, las vacaciones son un momento excelente para jugar, por lo que un juego siempre es una buena idea.
El dodecaedro del viajero, también llamado el viaje alrededor del mundo o el juego icosiano, fue inventado por el matemático irlandés Sir William R. Hamilton (1805-1865) y consiste en lo siguiente. Se considera un dodecaedro (en la versión comercial, de madera, está modificada la forma del dodecaedro para hacerla más manejable, con un mango, como se muestra tanto en la anterior imagen, como en la siguiente), con sus 20 vértices, etiquetados con las 20 consonantes del alfabeto inglés, que representan 20 ciudades del mundo, desde Bruselas, Cantón, Delhi o Frankfurt, hasta Washington, Xerez y Zanzíbar.
El objetivo del juego es realizar un recorrido por las aristas del dodecaedro (recordemos que este poliedro regular tiene 30 aristas) que visite exactamente una vez cada una de las 20 ciudades (vértices), pero regresando a la ciudad de la que partió, es decir, la última ciudad del recorrido está conectada mediante una arista a la primera. En la versión comercial, que se muestra en la anterior imagen, los vértices del dodecaedro contienen unos salientes, clavos, y el recorrido se realiza enganchando una cuerda al primer vértice y pasándola después por los demás vértices.
El juego tenía también una versión plana del mismo, que consistía en un grafo plano asociado al dodecaedro, con el mismo número de vértices y aristas, conectando estas los mismos vértices que en el dodecaedro. La versión comercial en madera contenía 20 agujeros en los vértices, en los que se colocaba una de las 20 fichas numeradas del 1 al 20 y que marcaban el recorrido del viajero por las 20 ciudades.
Como nuestras lectoras saben perfectamente la teoría de grafos es la rama de las matemáticas que estudia los grafos, estructuras formadas por puntos –llamados vértices– y líneas uniendo pares de puntos –llamadas aristas–, que son estructuras matemáticas muy sencillas, pero a la vez muy versátiles, con muchas aplicaciones en ciencia y tecnología (véanse, por ejemplo, las entradas El problema de los tres caballeros y los tres criados, El grafo de Marion (Gray), El juego de Sim o Frank Harary, “padre” de la teoría moderna de grafos, entre otras).
Los vértices y aristas del dodecaedro forman claramente un grafo tridimensional, sin embargo, en muchas ocasiones nos resulta más fácil de manejar considerar una representación plana del grafo tridimensional, un grafo plano. Una forma de obtener el grafo asociado al dodecaedro es imaginar que nuestro sólido platónico con caras pentagonales fuese de goma extensible, que realizásemos un agujero en el centro de una de las caras y desplegásemos la superficie del dodecaedro, estirándola, sobre el plano. Otra forma de verlo es considerar la proyección geométrica que consiste en proyectar el dodecaedro desde un punto que está encima del centro de una cara y sobre el plano en el que descansa la cara opuesta.
El matemático William R. Hamilton, que realizaría importantes contribuciones en óptica geométrica, mecánica clásica y álgebra, había introducido en 1843 los cuaterniones, un sistema numérico que extendía los números complejos (los cuales se pueden escribir de la forma a + bi, para a y b números reales y donde i es el número imaginario que satisface que i2 = – 1, es decir, es “la raíz cuadrada de menos 1”), y que estaba formado por números de la forma a + bi + cj + dk, para a, b, c y d números reales, donde los elementos i, j y k son números de tipo imaginario que verifican que i2 = – 1, j2 = – 1, k2 = – 1, así como que el producto de las tres constantes es menos 1, ijk = – 1. Y resultó que la multiplicación de los cuaterniones no era conmutativa, puesto que, por ejemplo, ij = k = – ji.
Tras la introducción de los cuaterniones otros matemáticos intentaron desarrollar otros sistemas algebraicos no conmutativos. El propio Hamilton introdujo, en 1856, los icosianos, relacionados con las simetrías del icosaedro. Hamilton relacionó las matemáticas del cálculo icosiano con el problema de viajar a lo largo de las aristas del dodecaedro, pasando exactamente una vez por cada vértice del mismo, y regresando al punto inicial, como expuso en una conferencia en la Asociación Británica de Dublin en 1857.
Hamilton se puso en contacto con la compañía londinense de juguetes John Jacques and Sons, a quienes vendió los derechos de su juego por 25 libras. El juego sería comercializado tanto en la versión tridimensional, con el nombre de Nuevo rompecabezas, el dodecaedro del viajero o un viaje alrededor del mundo, como en la versión plana, con el extenso nombre El juego icosiano, inventado por Sir William Rowan Hamilton, astrónomo real de Irlanda; se trata de un juego nuevo y sumamente entretenido para el salón, especialmente interesante para los estudiantes de matemáticas, ya que ilustra los principios del cálculo icosiano, aunque no parece que el juego fuese muy exitoso.
En 1855, un año antes de que el matemático irlandés inventase el juego icosiano, el matemático británico Thomas P. Kirkman (1806-1895), quien es conocido por el problema de las colegialas de Kirkman (véase la entrada El problema de las estudiantes de Kirkman), estudió la cuestión de si existían recorridos por las aristas de diferentes poliedros que pasasen una vez, y solo una, por cada uno de sus vértices, regresando al final al punto de partida, que es precisamente lo que plantea el juego icosiano para el dodecaedro.
Como siempre que hablamos de juegos, lo primero que os recomiendo es que juguéis al juego en cuestión, en este caso, el viaje alrededor del mundo. Para lo cual solo se necesita papel, bolígrafo (o rotuladores) y lápiz, ya que puede dibujarse (con bolígrafo para que quede permanente) el grafo plano del dodecaedro (o imprimir la imagen del mismo), denominar los vértices con las 20 consonantes (B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, X, Z) y jugar, es decir, realizar (con un lápiz para que pueda borrarse) un recorrido cerrado por las aristas del “dodecaedro plano” pasando por los veinte vértices del mismo, por las 20 consonantes. En la siguiente imagen tenéis de nuevo el grafo plano del dodecaedro, para que podáis realizar vuestro propio juego.
De hecho, ya que estamos podéis jugar sobre los grafos planos de los cinco poliedros regulares, empezando por los tres más sencillos, tetraedro, cubo y octaedro, que os animarán a seguir con los otros dos, dodecaedro e icosaedro.
Pero vayamos con las soluciones del juego. Si los vértices del dodecaedro no están etiquetados, entonces existen dos soluciones con distinta forma, aunque una no es más que la imagen especular de la otra. Sobre el grafo etiquetado anterior, las dos soluciones serían las que aparecen en la siguiente imagen.
Pero si se considera que los recorridos son diferentes si se pasan por las ciudades en diferente orden, es decir, ahora si se considera que las ciudades están etiquetadas y no solo nos fijamos en la manera de realizar el recorrido, entonces existen 30 de esos circuitos que resuelven el juego, sin tener en cuenta el sentido contrario de los mismos.
El juego del dodecaedro del viajero está relacionado con la existencia de un cierto tipo de caminos sobre un grafo, los llamados, caminos, o ciclos si son cerrados, hamiltonianos (aunque quizás, por lo comentado anteriormente, deberían haberse llamado kirkmanianos), de los que ya hablaremos en otra ocasión.
Bibliografía
1.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos, El mundo es matemático, RBA, 2015.
2.- Édouard Lucas, Recreaciones Matemáticas, vol. 1 – 4, Nivola, 2007, 2008.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
El artículo Viaje alrededor del mundo se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.
En 1956, la matemática Zofia Szmydt se convirtió en la primera mujer en ganar el prestigioso Premio Stefan Banach otorgado por la Sociedad Matemática Polaca. Su investigación se centró en las áreas de ecuaciones diferenciales, teoría del potencial y teoría de distribuciones.
Zofia Szmydt nació el 29 de julio de 1923 en Varsovia (Polonia). Su madre, Zofia Wanda Gąsiorowska, era doctora en filología, investigadora y docente en la Universidad de Varsovia. Su padre, Józef Konstanty Szmydt, tenía estudios superiores y trabajaba como agricultor. Zofia tenía una hermana mayor, Maria Danuta.
Tras su educación primaria, Zofia asistió a una escuela secundaria antes de completar su educación en la Escuela preparatoria para niñas Cecylia Plater-Zyberkówna en Varsovia. Allí estudiaba cuando Alemania invadió Polonia en septiembre de 1939 y comenzó la Segunda Guerra Mundial. Las fuerzas alemanas de ocupación actuaron rápidamente para limitar la educación de la población polaca: se cerraron todas las instituciones secundarias, universitarias y profesionales, permitiendo únicamente una educación primaria muy restringida. Estas escuelas buscaban una instrucción elemental para formar obreros manuales (aprender a contar hasta 500, escribir el propio nombre, ser laborioso y obedecer a los alemanes, entre otros elementos de esta escasa formación), eliminando materias como la geografía, la historia o la lectura.
Como respuesta a estas restricciones, muchos profesores polacos organizaron cursos y exámenes clandestinos: Zofia aprobó el examen de acceso a la universidad en matemáticas y física en 1940. Aunque las fuerzas alemanas de ocupación habían cerrado la Universidad de Varsovia para convertir sus edificios en un cuartel, se continuaron impartiendo clases en secreto utilizando casas particulares y edificios religiosos. Gracias a este sistema universitario clandestino, Zofia consiguió una cuidada educación científica. De hecho, su propia madre fue una de esas profesoras que arriesgaron su vida para continuar formando a la juventud de su país.
El 1 de agosto de 1944 comenzó el Levantamiento de Varsovia. Tras dos meses de batalla, la mayor parte de la ciudad quedó destruida y las fuerzas alemanas se ensañaron con la población civil. La familia de Zofia perdió sus propiedades y, tras la rendición de la resistencia polaca, los alemanes enviaron a la familia Szmydt (junto con muchas otras familias polacas supervivientes) a Cracovia.
El 17 de enero de 1945, las tropas alemanas abandonaron Cracovia y, dos días después, las fuerzas soviéticas entraron en la ciudad. La Universidad Jaguelónica reabrió sus puertas en marzo de 1945. Zofia se matriculó en la carrera de matemáticas; como ya contaba con una buena formación científica de la Universidad clandestina de Varsovia, pronto estuvo en condiciones de presentarse a los exámenes en Cracovia.
Obtuvo su diploma de Maestría en marzo de 1946, tras ser nombrada asistente sénior en la Facultad de Matemáticas y Ciencias Naturales de la Universidad Jaguelónica el 1 de enero de ese mismo año.
A finales de 1948, el gobierno polaco fundó el Instituto Estatal de Matemáticas (el actual Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias) con Wacław Sierpiński (1882-1969) como director. Como en otras ciudades polacas, Cracovia consiguió una delegación: en marzo de 1949, Zofia Szmydt fue nombrada asistente sénior en el Departamento de Ecuaciones Diferenciales del Instituto Estatal de Matemáticas (conservando su puesto en la universidad).
Durante esa época también comenzó su trabajo de tesis doctoral bajo la dirección de Tadeusz Ważewski (1896-1972). Obtuvo su título de doctora en diciembre de 1949 con un trabajo sobre ecuaciones en derivadas parciales.
Zofia Szmydt fue autora o coautora de casi 60 publicaciones científicas y dirigió tres tesis doctorales.
En 1972 publicó el libro de texto Transformacja Fouriera i równania różniczkowe liniowe (traducido al inglés en 1977 bajo el título de Fourier Transformation and Linear Differential Equations); fue el primero sobre el tema en publicarse en polaco. En este manual, Zofia Szmydt presentaba los fundamentos de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, con especial énfasis en las distribuciones en problemas límite de las ecuaciones clásicas (la ecuación del calor, la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson).
En 1956, Zofia Szmydt recibió el Premio Stefan Banach de la Sociedad Matemática Polaca por su investigación sobre métodos topológicos para ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias; fue la primera mujer en conseguirlo.
En 1958, obtuvo su habilitación, una cualificación postdoctoral adicional necesaria para impartir clases como profesora titular.
Los padres de Zofia habían regresado a Varsovia en febrero de 1945. La madre de Zofia fue nombrada catedrática en la Universidad de Varsovia; su padre falleció en 1960. En 1971, la salud de su madre se deterioró y Zofia solicitó al Instituto de Matemáticas que le permitiera trasladarse de la sede de Cracovia a la de Varsovia para poder cuidarla. Zofia Szmydt siguió viviendo en Varsovia tras el fallecimiento de su madre.
El 24 de septiembre de 1973, Szmydt recibió la Cruz de Comendadora de la Orden Polonia Restituta en reconocimiento a su labor docente y por la publicación del libro de texto Fourier Transformation and Linear Differential Equations.
Falleció el 6 de noviembre de 2010.
Referencias
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia
El artículo Zofia Szmydt, especialista en ecuaciones diferenciales se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.
El Tangram es seguramente el rompecabezas geométrico más popular y conocido, entre otros motivos por su sencillez y su enorme versatilidad. Es un rompecabezas de origen chino, aunque de antigüedad desconocida (véase más sobre su historia en la entrada Tangram), formado por 7 piezas poligonales –5 triángulos rectángulos isósceles (de tres tamaños distintos, dos de tamaño pequeño forman uno mediano y dos de estos uno grande), 1 cuadrado (que es igual a la unión de dos triángulos rectángulos pequeños) y 1 paralelogramo de tipo romboide (que también se puede obtener como unión de dos triángulos rectángulos pequeños).
Con las siete piezas del Tangram se puede formar la figura básica, que es un cuadrado, o una enorme familia de figuras, tanto figurativas (animales, personas, objetos, construcciones, números, letras, etc), como geométricas (figuras poligonales convexas (sobre las figuras convexas realizables con el Tangram véase la entrada Un teorema sobre el Tangram), etc), además de poder ser utilizado de forma didáctica para aprender matemáticas (teorema de Pitágoras, áreas, ángulos, etc).
La cantidad de figuras es de tal calibre que solo en gatitos podemos realizar por lo menos 50 patrones distintos, como vemos en la siguiente imagen.
Un rompecabezas tan versátil y popular ha calado en el mundo del arte y la cultura. Se puede encontrar en la literatura, el cómic, el diseño, la arquitectura, el teatro, la danza o la poesía, además de en las artes plásticas. En la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada El arte contemporáneo que mira al Tangram, así como en las otras dos entradas mencionadas, ya se mostraron algunos artistas que utilizaban el Tangram en sus obras de arte.
Un campo en el que el rompecabezas ha tenido un gran protagonismo ha sido en el mundo del grabado. Como ya se comentaba en la entrada El arte contemporáneo que mira al Tangram, el artista madrileño Javier Abad Alonso, co-fundador del estudio de grabado y galería Arco Tijera, hizo uso de este objeto geométrico en su magnífica y premiada serie de fotolitografías Supremus, El cráneo del hombre también es el cosmos (2019), que toman como punto de partida la controvertida pintura Cuadrado negro (1915-30), del artista supremacista ruso Kazimir Malevich (1879-1935), pero deconstruyendo el cuadrado a través del Tangram y sustituyendo el negro por paisajes extraídos de un observatorio astronómico.
Otro de los artistas que se han inspirado en el Tangram para realizar algunas de sus series de grabados es el artista multidisciplinar italiano Francesco Moretti, cuyo arte se inscribe dentro de la abstracción geométrica. En el año 2018 realizó una serie de linograbados con 7 colores que llevaba el título de Tangram game. Estas obras son algunas de las configuraciones conocidas del Tangram (hombre cayendo, avión, pez, cisne, caballo, gato, flecha o conejo). Cada pieza del Tangram tiene un diseño geométrico diferente. Además, en cada grabado todas las piezas son del mismo color o cada una tiene un color distinto.
Otra serie de grabados, de las varias que tiene, que me gusta mucho es Closed forms (formas cerradas), formada por algunas de las 13 configuraciones convexas que existen para este rompecabezas geométrico (véase la entrada Un teorema sobre el Tangram). Además, en cada figura incluye líneas paralelas con la forma de la misma figura, que nos recuerdan a algunas de las obras del artista abstracto y minimalista norteamericano Frank Stella (véase la entrada Frank Stella, la forma del lienzo).
Hay una serie de grabados muy diferentes a los anteriores, del artista neo-expresionista estadounidense Donald Baechler (1956–2022), que también se inspiran en este juego geométrico. El neo-expresionismo surge, a finales de la década de 1970, como reacción contra el minimalismo y el arte conceptual, inspirándose en el expresionismo. Buscan volver a la figuración, sin olvidar del todo la abstracción, a la pintura como principal forma de expresión artística, realizando obras de gran formato y utilizando la técnica de grandes pinceladas gestuales aplicadas violentamente sobre la tela, con la idea de expresar mediante ellas las emociones del artista. Entre las influencias de este movimiento están el Art Brut (arte marginal), los dibujos infantiles, los cómics antiguos o los graffitis. En particular, estos elementos son muy importantes para Donald Baechler, como puede apreciarse en su arte, en particular, las referencias a los dibujos y juegos infantiles, como el tangram.
Baechler incluyó la representación de figuras realizadas con el Tangram en algunos de sus grabados neo-expresionistas, como la serie de grabados Tangram (1989-1990), que entre otras colecciones está en el MOMA (Museo de Arte Moderno de Nueva York). La carpeta está formada por 8 grabados realizados con una técnica mixta, una sofisticada combinación de aguatinta, aguafuerte y punta seca de tamaño pequeño (placa de 27,7 x 21,5 cm, dentro de una hoja de 66,5 x 48,3 cm).
Un grabado a destacar es el siguiente, Sin título (1992), perteneciente al cuaderno The Frozen Leoprad I / El leopardo helado I, que fue un proyecto artístico de la galería alemana Galerie Klüser (Munich), que consistía en una serie de grabados de los artistas, principalmente, neo-expresionistas, Donald Baechler, Georg Baselitz, A.R. Penck, Enzo Cucchi, Mimmo Paladino y Alex Katz. En este grabado (aguatinta) aparecen juegos infantiles como la pelota, los cubos de colores o un barco de madera, además de varias figuras, distintas, de gatos realizados con las piezas del Tangram.
Ya que estamos con el artista neo-expresionista Donald Baechler, incluiremos otra obra suya, no relacionada con el Tangram, pero sí con la aritmética. Se trata de la obra Arithmetic Head / Cabeza aritmética (1993), realizada con las técnicas de la serigrafía y el collage, que está, entre otras colecciones, en el Whitney Museum of American Art (Nueva York).
Al siguiente artista lo descubrí mientras preparaba la conferencia “Juegos, matemáticas y arte contemporáneo, una alianza creativa” para las XII JAEM (Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas), organizadas por la FESPM – Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, que han tenido lugar entre los días 1 y 4 de julio (de 2026) en Jaén. Se trata del ilustrador, escultor, pintor y artista gráfico checo Zdeněk Kučera (1935-2016), que estudió Matemáticas y Educación Artística en la Facultad de Pedagogía de la Universidad Palacký de Olomouc (República Checa). Su arte lo podemos enmarcar dentro de la abstracción geométrica, próximo al minimalismo y al arte concreto.
Kučera es uno de esos artistas cuyas obras de arte podían haber sido analizadas en mi libro Las matemáticas como herramienta de creación artística (Catarata-FESPM, 2023). En las siguientes imágenes, pertenecientes a una de sus exposiciones, Zdeněk Kučera – Úhel pohledu / Zdeněk Kučera – Punto de vista (Galería de Bellas Artes de Hodonín, República Checa, 2023), se pueden observar algunas piezas claramente relacionadas con elementos geométricos y topológicos.
Pero la obra que me ha cautivado de Kučera es la pintura Sin título – Tangram (1989, 105 x 105 cm), en la cual el artista es capaz de transmitirnos de forma sencilla y visual el proceso creativo de la obra. La pieza consta de un esquema básico, sin color, del Tangram cuadrado en la parte superior izquierda, transmitiendo, para que no haya ninguna duda, que esa es la herramienta que utiliza para crear las 15 imágenes geométricas bicolor (azul y rojo) que componen la pintura acrílica, junto al esquema básico. Como en muchas obras de arte concreto, el impacto visual de esas 15 imágenes llega al espectador a través de la forma y el color. Son cuadrados seccionados en dos regiones de dos colores intensos, azul y rojo, de manera que las regiones están determinadas por las piezas del Tangram. En cada una de las imágenes la colocación de las piezas del rompecabezas geométrico formando un cuadrado es diferente, así como la elección de qué piezas son rojas y cuales azules. El resultado es muy potente.
En otras pinturas, como Tangram I (1989, 150 x 105 cm), con las 7 piezas del rompecabezas geométrico el artista forma cuadrados con dos huecos vacíos (blanco en la obra), además, como en la obra anterior, algunas piezas del juego son rojas y otras azules.
Como se comenta esos cuatro diseños, así como los de otras obras de esta serie, pueden realizarse con las piezas del Tangram. Por ejemplo, hemos realizado en la siguiente imagen la figura de arriba a la derecha, para mostrar que no se ha manipulado la imagen, que surge directamente del Tangram.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
El artículo Arte Tangram se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.
El contador de arena o Arenario es el título de un tratado de Arquímedes (ca. 287 a. C.- ca. 212 a. C.) escrito alrededor de 216 a. C. y dedicado a su benefactor, Gelón II de Siracusa.
En este escrito, el científico griego pretendía determinar la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo.
La tarea no era sencilla, ya que Arquímedes tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo de la época e idear una manera de hablar de números extremadamente grandes…
Como hemos comentado, Arquímedes tuvo que idear un método para nombrar números grandes. El sistema numérico de ese momento podía expresar números hasta una miríada (diez mil, 104). Así, usando esta misma palabra, se puede extender inmediatamente esta nomenclatura para nombrar todos los números hasta una miríada de miríadas (es decir, cien millones,108). Arquímedes denominó a los números hasta 108 (sin incluirlo) números primeros del primer periodo.
El científico consideraba a cien millones, 108, la unidad de los números segundos del primer periodo. Los múltiplos de 108 eran así los números segundos del primer periodo, hasta esta unidad tomada una miríada de miríadas de veces, 108 x 108 = 1016, la unidad de tercer orden, cuyos múltiplos eran los números de tercer orden, y así sucesivamente.
Arquímedes continuó nombrando números de esta manera hasta llegar a una miríada-miríada de veces la unidad 108, es decir, 108 elevado a 108 (denotamos a esta cantidad N) que es la unidad del primer orden del segundo período.
La unidad del segundo orden del segundo periodo sería N x 108 y se continuaría de este modo hasta definir una miríada de órdenes en el segundo periodo, y seguir con un tercer período cuya unidad es N2, y luego con un cuarto periodo que empieza en N3. Arquímedes continuó con este proceso hasta definir 108 periodos.
Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes para poder manejar estas cantidades.
Arquímedes utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos: el Sol permanece inmóvil mientras la Tierra orbita a su alrededor. El propio Arquímedes decía en su Arenario:
Sus [las de Aristarco] hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, estando el Sol en el centro de la órbita, y que la esfera de estrellas fijas, situada alrededor del mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que él supone que gira la Tierra guarda tal proporción con la distancia de las estrellas fijas como el centro de la esfera guarda con su superficie.
Según Arquímedes, Aristarco no especificó a qué distancia se encontraban las estrellas de la Tierra por lo que tuvo que hacer las siguientes suposiciones:
Para calcular la cantidad de granos de arena que llenan el universo, también supuso:
Teniendo en cuenta estas hipótesis, Arquímedes concluyó que el diámetro del Universo no superaba los 10¹⁴ estadios (unos 2 años luz en unidades modernas).
Para Arquímedes, cada grano de arena tenía un diámetro aproximado de 19 μm (0,019 mm).
El científico manifestaba que cuarenta semillas de amapola colocadas una al lado de la otra equivalían a un dáctilo griego (el ancho de un dedo), que medía aproximadamente 19 mm de longitud. Como el volumen es proporcional al cubo de una dimensión lineal, una esfera de un dáctilo de diámetro contendría (según nuestro sistema numérico actual) 40³ = 64 000 semillas de amapola.
También afirmaba que cada semilla de amapola podría contener una miríada (104) de granos de arena. Multiplicando ambas cifras, propuso 640 millones como el número de hipotéticos granos de arena en una esfera de un dáctilo de diámetro. Para simplificar los cálculos posteriores, redondeó 640 millones a mil millones, señalando que, como el primer número era menor que el segundo, la cantidad de granos de arena calculada posteriormente superaría la cantidad real.
Un estadio griego tenía una longitud de 600 pies griegos, y cada pie medía 16 dáctilos, por lo que había 9600 dáctilos en un estadio. Arquímedes redondeó de nuevo esta cifra a una miríada para simplificar los cálculos, señalando que el número resultante superaría la cantidad real de granos de arena.
El cubo de una miríada es 1012, así que, multiplicando mil millones (el número de granos de arena en una dáctilo-esfera) por un billón (número de dáctilo-esferas en una estadio-esfera) se obtiene 1021, el número de granos de arena en una estadio-esfera.
Como hemos comentado antes, Arquímedes estimó que el Universo tenía un diámetro de 10¹⁴ estadios, por lo que habría (10¹⁴)³ = 10⁴² estadios-esferas en el universo. Así, en el Universo podría contener 10²¹ x 10⁴² = 1063 granos de arena.
… quizás te apetezca hacer un cálculo más asequible, ¿quizás estimar la cantidad de granos de arena de la playa que (si es el caso) visites?
Referencias
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia
El artículo El contador de arena se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.
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