El Tangram es seguramente el rompecabezas geométrico más popular y conocido, entre otros motivos por su sencillez y su enorme versatilidad. Es un rompecabezas de origen chino, aunque de antigüedad desconocida (véase más sobre su historia en la entrada Tangram), formado por 7 piezas poligonales –5 triángulos rectángulos isósceles (de tres tamaños distintos, dos de tamaño pequeño forman uno mediano y dos de estos uno grande), 1 cuadrado (que es igual a la unión de dos triángulos rectángulos pequeños) y 1 paralelogramo de tipo romboide (que también se puede obtener como unión de dos triángulos rectángulos pequeños).

 

 

Con las siete piezas del Tangram se puede formar la figura básica, que es un cuadrado, o una enorme familia de figuras, tanto figurativas (animales, personas, objetos, construcciones, números, letras, etc), como geométricas (figuras poligonales convexas (sobre las figuras convexas realizables con el Tangram véase la entrada Un teorema sobre el Tangram), etc), además de poder ser utilizado de forma didáctica para aprender matemáticas (teorema de Pitágoras, áreas, ángulos, etc).

 

 

La cantidad de figuras es de tal calibre que solo en gatitos podemos realizar por lo menos 50 patrones distintos, como vemos en la siguiente imagen.

 

 

El tangram en el arte contemporáneo

 

Un rompecabezas tan versátil y popular ha calado en el mundo del arte y la cultura. Se puede encontrar en la literatura, el cómic, el diseño, la arquitectura, el teatro, la danza o la poesía, además de en las artes plásticas. En la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada El arte contemporáneo que mira al Tangram, así como en las otras dos entradas mencionadas, ya se mostraron algunos artistas que utilizaban el Tangram en sus obras de arte.

 

Un campo en el que el rompecabezas ha tenido un gran protagonismo ha sido en el mundo del grabado. Como ya se comentaba en la entrada El arte contemporáneo que mira al Tangram, el artista madrileño Javier Abad Alonso, co-fundador del estudio de grabado y galería Arco Tijera, hizo uso de este objeto geométrico en su magnífica y premiada serie de fotolitografías Supremus, El cráneo del hombre también es el cosmos (2019), que toman como punto de partida la controvertida pintura Cuadrado negro (1915-30), del artista supremacista ruso Kazimir Malevich (1879-1935), pero deconstruyendo el cuadrado a través del Tangram y sustituyendo el negro por paisajes extraídos de un observatorio astronómico.

 

 

Otro de los artistas que se han inspirado en el Tangram para realizar algunas de sus series de grabados es el artista multidisciplinar italiano Francesco Moretti, cuyo arte se inscribe dentro de la abstracción geométrica. En el año 2018 realizó una serie de linograbados con 7 colores que llevaba el título de Tangram game. Estas obras son algunas de las configuraciones conocidas del Tangram (hombre cayendo, avión, pez, cisne, caballo, gato, flecha o conejo). Cada pieza del Tangram tiene un diseño geométrico diferente. Además, en cada grabado todas las piezas son del mismo color o cada una tiene un color distinto.

 

 

Otra serie de grabados, de las varias que tiene, que me gusta mucho es Closed forms (formas cerradas), formada por algunas de las 13 configuraciones convexas que existen para este rompecabezas geométrico (véase la entrada Un teorema sobre el Tangram). Además, en cada figura incluye líneas paralelas con la forma de la misma figura, que nos recuerdan a algunas de las obras del artista abstracto y minimalista norteamericano Frank Stella (véase la entrada Frank Stella, la forma del lienzo).

 

 

Tangram neo-expresionista

 

Hay una serie de grabados muy diferentes a los anteriores, del artista neo-expresionista estadounidense Donald Baechler (1956–2022), que también se inspiran en este juego geométrico. El neo-expresionismo surge, a finales de la década de 1970, como reacción contra el minimalismo y el arte conceptual, inspirándose en el expresionismo. Buscan volver a la figuración, sin olvidar del todo la abstracción, a la pintura como principal forma de expresión artística, realizando obras de gran formato y utilizando la técnica de grandes pinceladas gestuales aplicadas violentamente sobre la tela, con la idea de expresar mediante ellas las emociones del artista. Entre las influencias de este movimiento están el Art Brut (arte marginal), los dibujos infantiles, los cómics antiguos o los graffitis. En particular, estos elementos son muy importantes para Donald Baechler, como puede apreciarse en su arte, en particular, las referencias a los dibujos y juegos infantiles, como el tangram.

 

Baechler incluyó la representación de figuras realizadas con el Tangram en algunos de sus grabados neo-expresionistas, como la serie de grabados Tangram (1989-1990), que entre otras colecciones está en el MOMA (Museo de Arte Moderno de Nueva York). La carpeta está formada por 8 grabados realizados con una técnica mixta, una sofisticada combinación de aguatinta, aguafuerte y punta seca de tamaño pequeño (placa de 27,7 x 21,5 cm, dentro de una hoja de 66,5 x 48,3 cm).

 

 

 

Un grabado a destacar es el siguiente, Sin título (1992), perteneciente al cuaderno The Frozen Leoprad I / El leopardo helado I, que fue un proyecto artístico de la galería alemana Galerie Klüser (Munich), que consistía en una serie de grabados de los artistas, principalmente, neo-expresionistas, Donald Baechler, Georg Baselitz, A.R. Penck, Enzo Cucchi, Mimmo Paladino y Alex Katz. En este grabado (aguatinta) aparecen juegos infantiles como la pelota, los cubos de colores o un barco de madera, además de varias figuras, distintas, de gatos realizados con las piezas del Tangram.

 

 

Ya que estamos con el artista neo-expresionista Donald Baechler, incluiremos otra obra suya, no relacionada con el Tangram, pero sí con la aritmética. Se trata de la obra Arithmetic Head / Cabeza aritmética (1993), realizada con las técnicas de la serigrafía y el collage, que está, entre otras colecciones, en el Whitney Museum of American Art (Nueva York).

 

 

Tangram como herramienta de creación artística

 

Al siguiente artista lo descubrí mientras preparaba la conferencia “Juegos, matemáticas y arte contemporáneo, una alianza creativa” para las XII JAEM (Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas), organizadas por la FESPM – Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, que han tenido lugar entre los días 1 y 4 de julio (de 2026) en Jaén. Se trata del ilustrador, escultor, pintor y artista gráfico checo Zdeněk Kučera (1935-2016), que estudió Matemáticas y Educación Artística en la Facultad de Pedagogía de la Universidad Palacký de Olomouc (República Checa). Su arte lo podemos enmarcar dentro de la abstracción geométrica, próximo al minimalismo y al arte concreto.

Kučera es uno de esos artistas cuyas obras de arte podían haber sido analizadas en mi libro Las matemáticas como herramienta de creación artística (Catarata-FESPM, 2023). En las siguientes imágenes, pertenecientes a una de sus exposiciones, Zdeněk Kučera – Úhel pohledu / Zdeněk Kučera – Punto de vista (Galería de Bellas Artes de Hodonín, República Checa, 2023), se pueden observar algunas piezas claramente relacionadas con elementos geométricos y topológicos.

 

 

 

Pero la obra que me ha cautivado de Kučera es la pintura Sin título – Tangram (1989, 105 x 105 cm), en la cual el artista es capaz de transmitirnos de forma sencilla y visual el proceso creativo de la obra. La pieza consta de un esquema básico, sin color, del Tangram cuadrado en la parte superior izquierda, transmitiendo, para que no haya ninguna duda, que esa es la herramienta que utiliza para crear las 15 imágenes geométricas bicolor (azul y rojo) que componen la pintura acrílica, junto al esquema básico. Como en muchas obras de arte concreto, el impacto visual de esas 15 imágenes llega al espectador a través de la forma y el color. Son cuadrados seccionados en dos regiones de dos colores intensos, azul y rojo, de manera que las regiones están determinadas por las piezas del Tangram. En cada una de las imágenes la colocación de las piezas del rompecabezas geométrico formando un cuadrado es diferente, así como la elección de qué piezas son rojas y cuales azules. El resultado es muy potente.

 

 

En otras pinturas, como Tangram I (1989, 150 x 105 cm), con las 7 piezas del rompecabezas geométrico el artista forma cuadrados con dos huecos vacíos (blanco en la obra), además, como en la obra anterior, algunas piezas del juego son rojas y otras azules.

 

 

Como se comenta esos cuatro diseños, así como los de otras obras de esta serie, pueden realizarse con las piezas del Tangram. Por ejemplo, hemos realizado en la siguiente imagen la figura de arriba a la derecha, para mostrar que no se ha manipulado la imagen, que surge directamente del Tangram.

 

 

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

El artículo Arte Tangram se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

Durante décadas se asumió que el genio infantil acababa en aislamiento o crisis. Un seguimiento de cuatro décadas y un metaanálisis de neuroimagen cuentan una historia distinta.

El contador de arena o Arenario es el título de un tratado de Arquímedes (ca. 287 a. C.- ca. 212 a. C.) escrito alrededor de 216 a. C. y dedicado a su benefactor, Gelón II de Siracusa.

 

 

En este escrito, el científico griego pretendía determinar la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo.

 

La tarea no era sencilla, ya que Arquímedes tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo de la época e idear una manera de hablar de números extremadamente grandes…

 

Nombrando números grandes

 

Como hemos comentado, Arquímedes tuvo que idear un método para nombrar números grandes. El sistema numérico de ese momento podía expresar números hasta una miríada (diez mil, 10⁴). Así, usando esta misma palabra, se puede extender inmediatamente esta nomenclatura para nombrar todos los números hasta una miríada de miríadas (es decir, cien millones,10⁸). Arquímedes denominó a los números hasta 10⁸ (sin incluirlo) números primeros del primer periodo.

 

El científico consideraba a cien millones, 10⁸, la unidad de los números segundos del primer periodo. Los múltiplos de 10⁸ eran así los números segundos del primer periodo, hasta esta unidad tomada una miríada de miríadas de veces, 10⁸ x 10⁸ = 10¹⁶, la unidad de tercer orden, cuyos múltiplos eran los números de tercer orden, y así sucesivamente.

 

Arquímedes continuó nombrando números de esta manera hasta llegar a una miríada-miríada de veces la unidad 10⁸, es decir, 10⁸ elevado a 10⁸ (denotamos a esta cantidad N) que es la unidad del primer orden del segundo período.

 

 

La unidad del segundo orden del segundo periodo sería N x 10⁸ y se continuaría de este modo hasta definir una miríada de órdenes en el segundo periodo, y seguir con un tercer período cuya unidad es N², y luego con un cuarto periodo que empieza en N³. Arquímedes continuó con este proceso hasta definir 10⁸ periodos.

 

Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes para poder manejar estas cantidades.

 

Midiendo el Universo 

 

Arquímedes utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos: el Sol permanece inmóvil mientras la Tierra orbita a su alrededor. El propio Arquímedes decía en su Arenario:

 

Sus [las de Aristarco] hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, estando el Sol en el centro de la órbita, y que la esfera de estrellas fijas, situada alrededor del mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que él supone que gira la Tierra guarda tal proporción con la distancia de las estrellas fijas como el centro de la esfera guarda con su superficie.

 

Según Arquímedes, Aristarco no especificó a qué distancia se encontraban las estrellas de la Tierra por lo que tuvo que hacer las siguientes suposiciones:

 

1. que el universo era esférico;
2. que la relación entre el diámetro del Universo y el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol era igual a la relación entre el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol y el diámetro de la Tierra.

 

Para calcular la cantidad de granos de arena que llenan el universo, también supuso:

 

1. que la circunferencia de la Tierra no superaba las 300 miríadas de estadios (5,55 × 10⁵ km, una sobreestimación de aproximadamente un factor de 40);
2. que la Luna no era más grande que la Tierra, y que el Sol no era más de treinta veces más grande que la Luna (1,65 × 10⁷ km, una sobreestimación de aproximadamente un factor de 10);
3. que el diámetro angular del Sol, visto desde la Tierra, era mayor que 1/200 de un ángulo recto (π/400 radianes, una sobreestimación, pero precisa dentro del 20 % del valor real).

 

Teniendo en cuenta estas hipótesis, Arquímedes concluyó que el diámetro del Universo no superaba los 10¹⁴ estadios (unos 2 años luz en unidades modernas).

 

Contando granos de arena

 

Para Arquímedes, cada grano de arena tenía un diámetro aproximado de 19 μm (0,019 mm).

 

El científico manifestaba que cuarenta semillas de amapola colocadas una al lado de la otra equivalían a un dáctilo griego (el ancho de un dedo), que medía aproximadamente 19 mm de longitud. Como el volumen es proporcional al cubo de una dimensión lineal, una esfera de un dáctilo de diámetro contendría (según nuestro sistema numérico actual) 40³ = 64 000 semillas de amapola.

También afirmaba que cada semilla de amapola podría contener una miríada (10⁴) de granos de arena. Multiplicando ambas cifras, propuso 640 millones como el número de hipotéticos granos de arena en una esfera de un dáctilo de diámetro. Para simplificar los cálculos posteriores, redondeó 640 millones a mil millones, señalando que, como el primer número era menor que el segundo, la cantidad de granos de arena calculada posteriormente superaría la cantidad real.

 

Un estadio griego tenía una longitud de 600 pies griegos, y cada pie medía 16 dáctilos, por lo que había 9600 dáctilos en un estadio. Arquímedes redondeó de nuevo esta cifra a una miríada para simplificar los cálculos, señalando que el número resultante superaría la cantidad real de granos de arena.

 

El cubo de una miríada es 10¹², así que, multiplicando mil millones (el número de granos de arena en una dáctilo-esfera) por un billón (número de dáctilo-esferas en una estadio-esfera) se obtiene 10²¹, el número de granos de arena en una estadio-esfera.

 

Como hemos comentado antes, Arquímedes estimó que el Universo tenía un diámetro de 10¹⁴ estadios, por lo que habría (10¹⁴)³ = 10⁴² estadios-esferas en el universo. Así, en el Universo podría contener 10²¹ x 10⁴² = 10⁶³ granos de arena.

 

Para este verano…

 

… quizás te apetezca hacer un cálculo más asequible, ¿quizás estimar la cantidad de granos de arena de la playa que (si es el caso) visites?

 

 

Referencias

 

• Heinrich F. Fleck, Archimede Arenario, Quaderni di Scienze Umane
• e Filosofia Naturale vol. 2, no. 2, 2016
• Juan Navarro Loidi, El Arenario de Arquímedes, Actes de la XXI Jornada sobre la Història de la Ciència i l’Ensenyament. Barcelona, SCHCT-IEC
• Ferragud, C.; Massa-esteve, M. R. (ed.) (2025) 70-76
• Arenario, original en griego
• Arenario, en latín
• The Sand Reckoner, Wikipedia

 

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia

El artículo El contador de arena se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.